線形代数B

期末が6/22(月)にあるらしい。

演習1

$$ W= \left\lbrace \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^2 \mid x+y=1 \right\rbrace $$ $$ W \text{ は } \mathbb{R}^2 \text{ の部分空間であるか否かを答えよ。} $$

集合Wが部分空間であるためには

1. W の中の2つのベクトルを足しても、また W の中に入ること
2. W の中のベクトルを実数倍しても、また W の中に入ること

の2つを満たす必要がある。

ここで、 $$ \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \in W $$

$$ \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \in W $$ なので、両者ともにWの中のベクトルであるが、これら2つを足すと

$$ \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} \notin W $$ となり、1を満たさない。よって、Wは$\mathbb{R}^2$の部分空間ではない。

演習2

$$ \text{次のベクトルが1次独立であるか否かを答えよ。なお、}i\text{ は虚数単位である。} $$

$$ (1)\quad \begin{pmatrix} 1\\ i\\ i-1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 2i\\ -i-2\\ i+1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} i+1\\ -2\\ -4 \end{pmatrix} $$

$$ (2)\quad \begin{pmatrix} 1\\ i\\ i-1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 2i\\ -i-2\\ i+1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} i+1\\ -2\\ 4 \end{pmatrix} $$

暗記事項として

$\text{ベクトルが1次独立} \Rightarrow \text{ベクトルを並べた行列の行列式が0でない}$

があるらしい。

これを使う。サラスの公式で行列式を計算すると $$ \begin{vmatrix} 1 & 2i & i+1\\ i & -i-2 & -2\\ i-1 & i+1 & -4 \end{vmatrix} = 8i $$

よって (1)は一次独立。

同じようにして

$$ \begin{vmatrix} 1 & 2i & i+1\\ i & -i-2 & -2\\ i-1 & i+1 & 4 \end{vmatrix} = 0 $$

よって(2)は一次従属。

演習3

\[ \mathbf{v}_1= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v}_2= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v}_3= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \] \[ (1)\quad \langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle \text{ を集合の式で表せ。} \] \[ (2)\quad \langle \mathbf{v}_3\rangle \text{ を集合の式で表せ。} \] \[ (3)\quad \langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle \text{ と } \langle \mathbf{v}_3\rangle \text{ の関係を答えよ。} \]

$\langle \rangle$ はその中のベクトルたちで作れるすべての1次結合の集合を表すらしい。

katexの書き方がめんどくさそうかつそんなに難しくなさそう。