問題1

次の関数の連続性を調べなさい． $$ f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{3xy}{2x^2+y^2}, & ((x,y)\ne(0,0))\\ 0, & ((x,y)=(0,0)) \end{cases} $$

$(x,y)\neq(0,0)$のときは連続。$(x,y)=(0,0)$の時を考える。

まず、$y=0$として近づけると

$$ f(x,0)= \dfrac{0}{2x^2} $$ より、 $$ \lim_{n\to0}f(x,0) = 0 $$

次に$y=x$として近づけると

$$ f(x,x)= \dfrac{3x^2}{3x^2} = 1 $$

となり、近づき方によって極限値が違うから、$f(x,y)$は$(0,0)$において不連続。

連続性を調べるときはこういうのをとりあえず代入してみるといいらしい。

• $x=0$
• $y=0$
• $y=x$
• $y=x^2$

問題2

1

次の関数を偏微分しなさい． $$ f(x,y)=x^3+3ax^2y-4xy^2+2y^3 \quad (a\text{ は定数}) $$

偏微分するときは、片方を固定して考える。

$$ f_x=3x^2+6axy-4xy^2\\ f_y=3ax^2-8xy+6y^2 $$

2

$$ f(x,y)=e^{2x^2-y} $$

同じくやる。

$$ f_x=4xe^{2x^2-y}\\ f_y=-e^{2x^2-y} $$

問題3

次の関数の第 2 次偏導関数を求めなさい．

(1)

$$ f(x,y)=2x^3-3x^2y+5xy^2+y^3 $$

$f_xx, f_xy, f_yx, f_yy$をそれぞれ求める。katexで書くのがめんどくさいので省略。

ちなみに、$\dfrac{\partial}{\partial x}$って書くとxで微分することを意味するらしい。

$$ f_xx = 12x−6y \\ f_xy =−6x+10y \\ f_yx =−6x+10y \\ f_yy =10x+6y $$

(2)

$$ f(x,y)=xy\cos(x-y) $$

$xy\cos(x-y)$の微分は積の微分と合成関数の微分を使う必要があるらしくて、積の微分を忘れてた。

$$ (ab)' = a'b + ab' $$ らしいです。 答えは省略。

問題4

関数 $z=f(x,y)=x^2+2y^2-1$ の点 $$ (x,y,z)=(1,1,2) $$ における接平面を求めなさい．

接平面の公式は $$ z - f(a,b) = f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) $$

この式がよく分からなかったので一旦2次元のことを振り返る。

$y = f(x)$の点aにおける接戦のことを思い出すと $$ y - f(a) = f'(a)(x-a) $$ で表されて、$f'(a)$とは接線の傾きになる。つまり、

縦の変化量=傾き×横の変化量

となる。これと一緒のことをしてるのが接平面の公式で

zの変化量 = x方向に動いたことによるzの変化量 + y方向に動いたことによるzの変化量

を表している。

あとは代入して計算すると、

$$ z - 2 = 2(x-1) + 4(y-1)\\ z = 2x + 4y -4 $$

となる。